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Funzione sinusoidale


 

Le reti di distribuzione dell’energia forniscono agli utenti tensione alternata di forma sinusoidale; alla funzione sinusoidale viene dedicato uno studio particolarmente approfondito. In fig. 1.7 a) è illustrato un dispositivo per generare una tensione sinusoidale: una bobina ruota in un campo magnetico uniforme con velocità ω costante; l’angolo descritto dopo il tempo t è

Fig 1.7 – Generazione di una tensione sinusoidale

Quando δ = π/2, la velocità istantanea v dei conduttori è perpendicolare alle linee di induzione e la tensione generata assume il valor massimo Emax. In tutti gli altri istanti la tensione è data dall’espressione

ed è rappresentata dalla sinusoide di fig. 1.7 b). Il dispositivo per generare tensione sinusoidale è già stato analizzato in dettaglio nell’esempio visto all’articolo «Tensione indotta in una spira in movimento» al quale si rimanda.

Il periodo T corrisponde al tempo necessario per compiere una rotazione completa (cioè per descrivere l’angolo θ= 2π e vale

Ricordiamo l’espressione della frequenza

È molto utile saper passare facilmente dalla frequenza f alla pulsazione ω e viceversa, poiché alcuni calcoli risultano più semplici utilizzando il valore di ω, mentre altri lo sono con l’uso di f.

L’energia elettrica è prodotta per mezzo di alternatori basati sul principio di funzionamento illustrato, che generano effettivamente tensioni sinusoidali.

Indicando con Emax il valore massimo della tensione sinusoidale, calcoliamo il valor medio Emed, ed il valore efficace Eeff.

 

FIg. 1.8 – Sinusoide normalizzata di Emed.

Per semplificare i calcoli facciamo riferimento alla sinusoide normalizzata di fig. 1.8, dove sia l’ampiezza Emax che l’angolo di un radiante sull’asse delle ascisse sono rappresentati da un segmento unitario; l’intero periodo è pari a 2π radianti, ed è rappresentato da 2π segmenti unitari. Con questa attenta scelta delle scale l’area ombreggiata di un semiperiodo risulta esattamente pari a 2. Osservando che le due semionde sono identiche, il valore medio può essere calcolato in un solo semiperiodo

Per valori di Emax diversi da 1 si ottiene

Calcoliamo ora il valore efficace con il metodo illustrato nell’articolo «Circuito puramente induttivo» . Facendo sempre riferimento alla sinusoide normalizzata, eleviamo al quadrato il valore di e nei vari istanti, ottenendo l’andamento del quadrato della tensione di fig. 1.9. L’andamento così ottenuto è costituito da una sinusoide di frequenza doppia, la cui media (valor quadratico medio) è pari a 1/2. Questo può essere verificato eseguendo per punti il calcolo effettivo, oppure ricordando dalla trigonometria che

Fig 1.9 – calcolo di Eeff

Osservando che il valor medio di cos 2θ è zero, il valor medio di sen2θ sarà pari ad 1/2; il valore efficace risulta conseguentemente

Per valori di Emax diversi da uno si ottiene

Fattore di forma

Nella misura delle grandezze alternate si deve porre molta attenzione alla scelta degli strumenti: esistono infatti voltmetri ed amperometri che indicano il valor medio, mentre altri forniscono il valore efficace.

Questi ultimi devono essere del tipo «a vero valore efficace» (indicato con la scritta true RMS) allo scopo di evitare grossolani errori; esistono infatti altri strumenti che, per indicare il valore efficace, rilevano il valor medio e lo moltiplicano semplicemente per il fattore di forma 1.11: è chiaro che, se la grandezza misurata non è sinusoidale, il suo fattore di forma è diverso da 1.11, ed il valore efficace indicato da tali strumenti non è corretto.

Il valore nominale della tensione sinusoidale coincide con il suo valore efficace: la rete a 220V distribuisce 220V efficaci; i suoi valori massimo e medio risultano

Si riporta il prospetto delle tensioni e delle frequenze più utilizzate per la distribuzione di energia

 Vnomin=VeffVmaxVmedf(Hz)
Europa continentale22031119850
Gran bretagna24033921650
Stati Uniti11516310460
Giappone1001419050/60

 

Le frequenze più elevate comportano una riduzione nelle dimensioni delle macchine (generatori, trasformatori, motori) ma creano maggiori problemi nella trasmissione dell’energia a grande distanza. I valori di 50 o 60 Hz adottati in pratica costituiscono il compromesso fra queste due opposte esigenze. A bordo di velivoli, dove è importante ridurre il peso delle macchine, e non esiste il problema delle distanze, si adotta normalmente la frequenza di 400 Hz.

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