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Il circuito di figura 3.1 esiste un valore di pulsazione che indichiamo con ωt, tale che

 

Fig. 3.1 – Risposta al variare della pulsazione di un circuito R-L; a) circuito; b) diagramma dell’impedenza al variare di ω; c) diagramma delle tensioni; d) diagramma della corrente.

 

In corrispondenza ad ω, il modulo della corrente vale

e la sua fase vale —45° (vedi fig. 4.3.1 b, c, d).

Per ω > ωt, l’ampiezza della corrente viene fortemente attenuata all’aumentare di ω.

 

Il circuito illustrato costituisce un filtro che, per valori di ω inferiori ad ωt, non attenua apprezzabilmente la corrente mentre la abbatte per valori di ω superiori.

La grandezza ωt, viene detta pulsazione di taglio e la corrispondente frequenza ft = ω/2π è detta frequenza di taglio.

Ricordiamo che la costante di tempo τ del circuito vale τ = L/R, mentre ω, = R/L. Possiamo perciò scrivere la seguente relazione

Essa stabilisce un legame immediato fra la costante di tempo del circuito e la sua pulsazione di taglio.

Oltre al diagramma polare esiste un’altra forma di rappresentazione della risposta in frequenza di un circuito, detta diagramma di Bode. In questo diagramma l’ampiezza e la fase sono tracciate separatamente in funzione della pulsazione. Le scale dell’ampiezza e di ω sono logaritmiche.

In fig. 3.2 è riportato il diagramma di Bode relativo allo stesso circuito di fig. 3.1. In corrispondenza ad ω, la corrente è attenuata dal fattore √2 e la sua fase rispetto alla tensione è pari a —45°.

A basse pulsazioni l’attenuazione della corrente è piccola e la sua fase è prossima azero; alle pulsazioni più alte la corrente è fortemente attenuata e la sua fase è prossima a — 90°: tutto questo è in perfetto accordo con il diagramma polare. La curva dell’ampiezza è caratterizzata da un asintoto orizzontale e da uno obliquo, avente coefficiente angolare m = — 1, che approssimano la curva per pulsazioni lontane da ωt. I due asintoti si incontrano in corrispondenza di ωt

Ricordando che ci troviamo su scala logaritmica, analizziamo meglio l’andamento dell’asintoto obliquo, avente coefficiente angolare m = — 1 (cioè inclinato di — 45°). Su scala logaritmica questo significa che, ogni volta che la pulsazione viene moltiplicata per 10, l’ampiezza della corrente viene divisa per 10; ci troviamo cioè in presenza di una proporzionalità inversa, che su scala lineare sarebbe rappresentata da un’iperbole.

Fig. 3.2 – Diagramma di Bode di un circuito R-L. a) diagramma del modulo di I in funz. di log(ω). b) diagramma della fase di I in funz. di log(ω).

Un’importante proprietà dei diagrammi logaritmici è appunto quella di trasformare curve di ordine superiore in rette facilmente tracciabili.

Per misurare il rapporto tra due grandezze su scala logaritmica è comodo usare una unità di misura logaritmica: il decibel (dB). La misura in decibel del rapporto fra le correnti I1 e I2 vale

La stessa cosa vale per il rapporto fra tensioni.

Ricordando la ben nota proprietà dei logaritmi, che trasformano i prodotti e le divisioni in somme e sottrazioni, affermiamo che, in una scala logaritmica, aggiungere 20 dB ad una grandezza significa moltiplicarla per il fattore 10, mentre sottrarre 20 dB significa dividerla per 10.

La tabella seguente riassume i casi piu ricorenti
Aggiungere20dBequivale a moltiplicare per10
Aggiungere40dBequivale a moltiplicare per 100
Aggiungere60dBequivale a moltiplicare per 1000
Aggiungere10dBequivale a moltiplicare per √10 ≅3,6
Aggiungere6dBequivale a moltiplicare per 2
Aggiungere3dBequivale a moltiplicare per √2
Aggiungere0dBequivale a moltiplicare per 1

Analogamente

 
Aggiungere20dBequivale a dividere per10
Aggiungere40dBequivale a dividere per100
Aggiungere60dBequivale a dividere per1000
Aggiungere10dBequivale a dividere per √10
Aggiungere6dBequivale a dividere per 2
Aggiungere3dBequivale a dividere per √2
Aggiungere0dBequivale a dividere per 1

Il diagramma 3.2 a) può ora essere tarato in decibel, ponendo il valore 0 dB in corrispondenza di I0, il valore + 20 dB in corrispondenza di 10* I0, ecc.

Alla pulsazione ωt, la corrente, che è divisa per √2, risulta attenuata di 3 dB Indicando con il termine decade un intervallo di pulsazione i cui estremi stanno nel rapporto da 1 a 10 (è una decade l’intervallo 0,01 — 0,1 rad/s, come pure l’intervallo 100- 1000 rad/s, ecc.) diremo che l’asintoto obliquo di fig. 3.2 a) ha la pendenza di — 20 dB/decade.

Spesso, di un circuito di filtro, interessa conoscere il rapporto tra la tensione ai capi di un componente (tensione di uscita Vu) e la tensione del generatore (tensione di ingresso Vi), come illustrato in fig. 3.3 per diversi tipi di filtro. Nello schema 3.3 a) è riportato lo stesso circuito analizzato al paragrafo precedente, dal quale si preleva, come tensione di uscita, la tensione ai capi del resistore.

Il diagramma polare di Vu, coincide con il diagramma polare di VR, già illustrato in fig. 3.1 c); accanto viene riportato il corrispondente diagramma di Bode. Poiché le pulsazioni minori di ωt vengono scarsamente attenuate, questa disposizione viene detta filtro passa basso e la pulsazione di taglio prende il nome di pulsazione di taglio superiore ed è indicata con ωs.

Fig 4.3 – Risposta al variare della pulsazione dei filtri R-L; a) Passa alto; b) Passa basso

In fig. 3.3 b) si considera lo stesso circuito, ma la tensione di uscita viene prelevata questa volta ai capi dell’induttore.

Il diagramma polare di Vu coincide con quello di VL, ancora deducibile dalla fig. 3.1 c). A bassi valori di pulsazione la tensione ai capi dell’induttore è bassa e cresce all’aumentare di ω; per pulsazioni superiori ad ωt, la tensione di uscita è prossima al suo valore massimo: il filtro in esame è perciò un filtro passa alto e la pulsazione di taglio prende il nome di pulsazione di taglio inferiore ed è indicata con ωi.

Fig 3.4 – Risposta al variare della pulsazione dei filtri R-C; a) Passa alto; b) Passa basso

Filtri analoghi sono realizzati con circuiti R-C. La procedura per ricavare i corrispondenti diagrammi polare e di Bode è in tutto analoga a quella seguita per i circuiti R-L, ricordando che la reattanza capacitiva, contrariamente a quella induttiva, diminuisce al crescere di ω.

I diagrammi polari delle tensioni di uscita descrivono ancora una semicirconferenza e la pulsazione di taglio è tale che

da cui

Se si preleva la tensione di uscita ai capi del resistore si realizza un filtro passa-alto (fig. 3.4 a), mentre, prelevando la Vu, ai capi del condensatore, si realizza un filtro passa-basso (fig. 3.4 b).

Si comprende intuitivamente che, a basse frequenze, l’impedenza risulta elevata a causa dell’elevata reattanza capacitiva; la corrente è bassa e così pure la caduta ai capi di R: quasi tutta la tensione del generatore è localizzata ai capi di C. Viceversa, ad alta frequenza, la reattanza capacitiva tende a zero, e la tensione del generatore è quasi per intero localizzata ai capi del resistore.

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